Invertierbarkeit bijektiver Abbildungen

Seien \(X,Y\) Mengen und \(f:X\rightarrow Y\) eine Abbildung:
Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

• \(f\) ist bijektiv
  
• \(f\) ist umkehrbar
  

Es sei \(f\) bijektiv.
Da \(f\) surjektiv ist, gibt es also für jedes \(b \in B\) ein Element aus \(A\), das auf \(b\) abgebildet wird
Wir nennen dieses Element \(a_b\)
Wir definieren diese Umkehrabbildung $g: B \(\rightarrow A\) für alle \(b \in B\) durch \(g(b) := a_b\)

Dann gilt:

\begin{align*} f \circ g = id_B \end{align*}

weil für alle \(b \in B\) gilt:

\begin{align*} (f \circ g)(b) =& f(g(b)) \\ =& f(a_b) \\ =& b \end{align*}

Außerdem gilt \(g \circ f = id_A\), weil

\begin{align*} f((g \circ f)(a)) =& f(g(f(a))) \\ =& (f \circ g) (f(a)) \\ =& id_B (f(a)) \\ =& f(a) \end{align*}

Da\(f\) injektiv ist, folgt

\begin{align*} (g \circ f) (a) =& a \Rightarrow g \circ f = id_A \end{align*}