Inverses Element für die Addition (komplexe Zahlen)
1. Satz
Sei \(z \in \mathbb{C}\). Dann existiert ein \(z^{-}\) , sodass gilt
\begin{align*} \forall z \in \mathbb{C} \exists z^- \in \mathbb{C} : (z + z^- = 0) \end{align*}2. Beweis
Sei \(z = a + b \mathrm{i}\) mit \(a,b \in \mathbb{R}\) Dann ist \(z^- \coloneqq -a + (-b)\mathrm{i}\) und es gilt
\begin{align*} z + z^- =& a + (-a) + \mathrm{i} (b + (-b)) \\ =& (a - a) + \mathrm{i} (b - b) \\ =& 0 \end{align*}