Sandwhichsatz

Sei \(M\) ein Vollständiger bewerteter Körper und seien \((a_n), (b_n), (c_n)\) Folgen mit Grenzwerten \((a_n) \rightarrow g\) und \((c_n) \rightarrow g\). Falls \(a_n \leq b_n \leq c_n\) für fast alle \(n \in \mathbb{N}\) gilt, so folgt

\begin{align*} (c_n) \rightarrow g \end{align*}

Sei \(\varepsilon > 0\) Dann folgt für fast alle

\begin{align*} g - \varepsilon < a_n \leq b_n \leq c_n < g + \varepsilon \end{align*}

und damit

\begin{align*} b_n - g < \varepsilon \\ g - b_n < \varepsilon \\ \Rightarrow \vert b_n - g \vert < \varepsilon \\ \Rightarrow b_n \rightarrow g \end{align*}