group

Eine Gruppe ist definiert als eine Paar \((G,\cdot)\) wobei \(G\) eine Menge ist und \(\cdot\) eine Verknüpfung

\begin{align*} \cdot : G \times G \rightarrow& G \\ (a,b) \mapsto& a \cdot b \end{align*}

welche folgende Annahme erfüllt:

1. die Verknüpfung ist assoziativ
   
2. es existiert ein neutrales Element \(1\), d.h. für \(g \in G\) gilt
   

\begin{align*} g \cdot 1 = 1 \cdot g = g \end{align*}

1. für \(g \in G\) existiert ein beidseitig inverses Element \(g^{-1} \in G\), d.h.
   

\begin{align*} g \cdot g^{-1} =& g^{-1} \cdot g \\ =& 1 \end{align*}

bei der 3) reicht es aus zu fordern, dass für alle \(g \in G\) ein linksinverses Element \(g^{-1}_L \in G\) existiert, d.h.

\begin{align*} g_L^{-1}\cdot g = 1 \end{align*}

Falls für alle \(g \in G\) so ein \(g_L^{-1}\) existiert, so ist \(g_L^{-1}\) auch schon ein Rechtsinverses.