Dedekindscher Schnitt

Ein Dedekindscher Schnitt ist ein 2-Tupel \((\alpha, \beta)\) bestehend aus den Teilmengen \(\alpha, \beta \subset \mathbb{Q}\), welche folgende Eigenschaften erfüllen:

\begin{align*} \forall x \in \mathbb{Q} ( x \not\in \alpha \Leftrightarrow x \in \beta) \\ \alpha, \beta \neq \emptyset \\ \forall a \in \alpha \forall b \in \beta (a < b) \\ \forall a \in \alpha \exists a' \in \alpha : (a < a') \end{align*}

bzw.

\begin{align*} \alpha \sqcup \beta = \mathbb{Q} \end{align*}