Gleichheit einer gleichmächtigen, endlichen Teilmenge

Seien \(A,B\) endliche Mengen und es gelte \(A \subseteq B\) sowie $| A | = | B | $. Dann folgt:

\begin{align*} A = B \end{align*}

Angenommen \(A\) wäre eine echte Teilmenge. Dann wäre \(B \setminus A \neq \emptyset\) und disjunkt zu \(A\) mit \(\vert B \setminus A \vert > 0\) Aus der Annahme \(\vert A \vert = \vert B \vert\) folgt:

\begin{align*} \vert A \vert =& \vert B \vert \\ \vert A \vert =& \vert A \vert + \vert B \setminus A \vert && \vert - \vert A \vert \\ 0 =& \vert B \setminus A \vert \end{align*}

Widerspruch zur annahme oben