Menge der Urbilder für einelementige Mengen als Partition

Sei \(f: A \rightarrow B\) eine Abbildung Die Menge

\begin{align*} \{f^{-1}[\{b\}] \vert b \in B\} \end{align*}

bildet eine Partition über \(A\)

Aufgrund der Linkstotalität einer Abbildung gilt:

\begin{align*} \forall a \in A \exists b \in B : f(a) = b \end{align*}

und daraus folgt:

\begin{align*} f(a) = b \Rightarrow a \in f^{-1}[ \{b\}] \end{align*}

Somit ist \(\bigcup_{b \in B} f^{-1} [ \{b\}] = M\) Zusätzlich folgt aufgrund der Rechtseindeutigkeit, dass die einzelnen Urbilder paarweise disjunkt sind, weil sonst folgen würde:

\begin{align*} a \in f^{-1}[ \{b\}] \cap f^{-1} [ \{b'\} ] \\ \Rightarrow f(a) = b = b' \end{align*}