criteria for a subgroup
1. Theorem
Sei \((G,\circ)\) eine Gruppe und \((U, \circ)\) mit \(U \subseteq G\) und \(U \neq \emptyset\) \((U, \circ)\) ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt
\begin{align*} \forall a,b \in U \Rightarrow a \circ b^{-1} \in U \end{align*}2. Beweis
2.1. existenz des neutralen Elements
für \(a, a \in U\) folgt mit \(e = a \circ a^{-1}\) Demnach ist das neutrale element in \(U\)
2.2. Existenz des Inversen elmeent
für beliebiges \(a \in U\) folgt wegen \(e \in U\) und der Aussage oben:
\begin{align*} e \circ a^{-1} = a^{-1} \in U \end{align*}2.3. abgeschlossenheit
für beliebige \(a,b \in U\) folgt wegen \(b^{-1} \in U\)
\begin{align*} a \circ b^{-1} \in U \Rightarrow a \circ (b^{-1})^{-1} = a\circ b \in U \end{align*}