Satz von Cantor-Schröder-Bernstein-Dedekind

Seien \(A\), \(B\) Mengen, so dass für die Mächtigkeit gilt

cardinality

\begin{align*} \end{align*} \begin{align*} \vert A \vert \leq \vert B \vert \\ \vert B \vert \leq \vert A \vert \\ \end{align*}

Dann folgt

\begin{align*} \vert A \vert = \vert B \vert \end{align*}

Uses LEM

Nach Annahme existieren Injektionen

\begin{align*} f: A \rightarrowtail& B \\ g: B \rightarrowtail& A \end{align*}

Für \(x \in A\) betrachte die \(\mathbb{Z}\)-folge

\begin{align*} ...,f^{-1}g^{-1}[\{x\}],g^{-1}[\{x\}] ,\{x\}, f[ \{x\}], gf[ \{x\}], fgf [ \{x\}], gfgf[ \{x\}],.. \end{align*}

Wegen injektivität folgt insbesondere, dass jede Menge hier maximal Mächtigkeit \(1\) hat

Dann lässt sich jede Folge in genau einen der folgenden Fälle einordnen (LEM !)

1. endliche zykel
2. beidseitig unendliche ketten
3. Pfade, die in \(A\) beginnen
4. Pfade, die in \(B\) beginnen

Dann konstruiere eine Abbildung \(h: A \rightarrow B\) für die Fälle

1. \(h(a) = f(a)\), \(h^{-1}(b) = f^{-1}(b)\)
2. \(h(a) = f(a)\), \(h^{-1}(b) = f^{-1}(b)\)
3. \(h(a) = f(a)\), \(h^{-1}(b) = f^{-1}(b)\)
4. \(h(a) = g^{-1}(a)\), \(h^{-1}(b) = g(b)\)