Komposition von Abbildungen und Surjektivität/Injektivität

1. Satz

Seien $f: X \rightarrow Y ,g: Y \rightarrow Z$ Abbildungen. Dann gelten folgende Aussagen

Sei $g \circ f$ injektiv, dann ist auch $f$ injektiv
Sei $g \circ f$ surjektiv, dann ist auch $g$ surjektiv

2. Beweis

2.1. a)

Seien $x_1,x_2 \in X$ mit $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$. Dann folgt dass $g(f(x_2)) = g(f(x_1))$ und aus der Injektivität von $g$ auch dass $f(x_1) = f(x_2)$ (schließlich sind $f(x_1), f(x_2) \in B$ ja Elemente$ Erneute Anwendung der Definition von Injektivität (hier für $f$) ergibt, dass $x_1 = x_2$ (schließlich gilt $f(x_1) = f(x_2)$).

2.2. b)

Sei $z \in Z$. Dann existiert nach Annahme der Surjektivität von $g$ ein $y \in Y$ mit $g(y) = z$. Analog existiert ein $x \in X$ mit $f(x) = y$

Durch Assoziativität von der Verknüpfung folgt dann

\begin{align*} (f \circ g)(y) = f(g(y)) \end{align*}