intersection of closed sets is closed
1. Satz
Sei \(X\) ein topologischer Raum und seien \(A_i \subseteq X\) abgeschlossene Mengen (beliebig viele !) Dann ist \(\bigcap_{i \in I} A_i\) eine abgeschlossene Menge
2. Beweis
Sei \(B_i \coloneqq X \setminus A_i\) , dann ist \(B \coloneqq \bigcup_{i \in I} B_i\) eine offene Menge. Bleibt zu zeigen: \(\bigcap_{i \in I} A_i = X \setminus B\)
2.1.
Sei \(x \in \bigcap_{i \in I} A_i\), so ist dies Äquivalent mit \(x \in A_i \forall i \in I\) und damit auch äquivalent zu \(x \not\in B_i \forall i \in I\). Ebenso zu \(x \not\in B\) und dann auch \(x \in X \setminus B\)