de morgan rule for sets

1. Satz

Sei \(M\) eine Menge und \(A_i \subseteq M\) eine Familie. Dann gilt

\begin{align*} \bigcup_{i \in I} M \setminus A_i =& M \setminus \bigcap_{i \in I} A_i \\ \bigcap_{i \in I} M \setminus A_i =& M \setminus \bigcup_{i \in I} A_i \end{align*}

2. Beweis

2.1. a)

\begin{align*} \bigcup_{i \in I} M \setminus A_i =& \{m \in M \vert \exists i \in I : m \in M \setminus A_i \} \\ =& \{m \in M \vert \exists i \in I : m \not\in A_i \} \\ =& \{m \in M \vert \lnot \forall i \in I m \in A_i \} \\ =& M \setminus \{m \in M \vert \forall i \in I m \in A_i \} \\ =& M \setminus \bigcap_{i \in I} A_i \end{align*}

2.2. b)

\begin{align*} \bigcap_{i \in I} M \setminus A_i =& \{m \in M \vert \forall i \in I m \in M \setminus A_i\} \\ =& \{m \in M \vert \forall i \in I m \not\in A_i \} \\ =& M \setminus \{m \in M \vert \forall i \in I : m \in A_i \} \\ =& M \setminus \bigcup_{i \in I} A_i \end{align*}