Beweisstruktur: Nachweis von Wohldefiniertheit bei Äquivalenzrelationen

Seien \(A,B\) Mengen und \(\sim\) eine Äquivalenzrelation.
Sei \(A/\sim\) die Menge der Äquivalenzklasse.
Häufig möchte man eine Abbildung \(f: A/\sim \rightarrow B\) definieren indem man

1. ein Element \(M\) aus \(A/\sim\), also eine Äquivalenzklasse \(M\) nimmt
   
2. aus dieser Menge ein beliebiges Element \(a\in M\) (sogenannter Repräsentant) auswählt
   
3. und die Äquivalenzklasse \(M\) - also eine Menge - in Abhängigkeit von dem Repräsentanten auf etwas in \(B\) abbildet, also z.B. \(f([a]) := g(a)\) für eine Abbildung \(g: A \rightarrow B\).
   

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten:
a) man wählt i.A. ohne Kontrolle aus jeder Äquivalenzklasse einen Repräsentanten und bildet dann die Äquivalenzklasse auf das ab, was dieser einzelne Repräsentant vorgibt. Dann können wir die Abbildung i.A. nur so gut verstehen, wie die Wahl der Repräsentanten. Insbesondere gilt dann i.A. nicht \(f([a']) = g(a')\)
b) man zeigt die Wahl eines Repräsentanten für \(f[M] \in B\) keinen Unterschied macht, d.h. es ist zu zeigen, dass für \([a] = [a'] = M\) dann auch \(g(a) = g(a')\) folgt. Insbesondere dürfen wir dann z.B. für \([\tilde{a}]\) annehmen, dass \(f([\tilde{a}]) = g(\tilde{a})\) gilt.

Wenn man Wohldefiniertheit zeigen soll, dann heißt es, dass wir gerne \(f([\tilde{a}]) = g(\tilde{a})\) hätten und somit die Aussage aus der b) zeigen sollen (d.h. es ist zu zeigen, dass für \([a] = [a'] = M\) dann auch \(g(a) = g(a')\) folgt).

Angenommen wir haben \(A = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) und wir definieren

\begin{align*} (a,b) \sim (a',b') \Leftrightarrow ab' = a'b \end{align*}

Dann können wir für ein \(g\) ersteinmal noch nicht ausschließen, dass der Fall a) oben eintrifft.
Zum Beispiel sei

\begin{align*} g: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{Q} (a,b) \mapsto a + b \end{align*}

Zwar können wir eine Abbildung \(f\) nach den Schritten 1-3) definieren, schließlich können wir für jede Äquivalenzklasse gleichzeitig einen Repräsentanten auswählen (durch das Auswahlaxiom).
Wir erhalten damit auch, dass eine Abbildung \(f: A/\sim \rightarrow \mathbb{Q}\) existiert, aber wir können hier nichts über die Abbildung \(f\) sagen.
So wissen wir z.B. nicht, welchen Repräsentanten von der Äquivalenzklasse \([1,1]\) wir wählen, vielleicht ist es \([42,42]\), vielleicht aber auch \([-1024,-1024]\).
Wir wissen i.A. nur, dass eine Wahl existiert, können aber i.A. nichts über die Wahl sagen (bei unendlich vielen Paaren von Socken existiert abstrakt eine Abbildung, die aus jedem Paar eine Socke auswählt, aber ich kann keine explizit angeben).