Vereinigung von beliebig vielen Mengen beim Urbild
1. Satz
Sei \(f: X \rightarrow Y\) eine Funktion und \(Y_i \subseteq Y\) eine beliebige Familie von Teilmengen
\begin{align*} f^{-1} \left [\bigcup_{i \in I} Y_i \right] = \bigcup_{i \in I} f^{-1}[Y_i] \end{align*}2. Beweis
2.1. a)
Sei \(x \in f^{-1}\left [ \bigcup_{i \in I} Y_i \right]\), so existiert ein \(y \in \bigcup_{i \in I} Y_i\) mit \(x \in f^{-1}(y)\). Damit folgt auch \(y \in Y_j\) für ein \(j \in I\) bzw. \(x \in f^{-1}[Y_j]\). Somit gilt auch \(x \in \bigcup_{i \in I} f^{-1}[Y_j]\)
2.2. b)
Sei \(x \in \bigcup_{i \in I} f^{-1}[Y_i]\), so existiert ein \(j \in I\) mit \(x \in f^{-1}[Y_j]\) Daraus folgt, dass ein \(y \in Y_j\) existiert mit \(x \in f^{-1}(y)\) Gleichzeitig gilt \(y \in \bigcup_{i \in I} Y_i\) und damit dann auch \(x \in f^{-1} \left [\bigcup_{i \in I} \right]\)