product category

Sei \((\mathcal{C}_i)_{i \in I}\) eine Familie von Kategorien, dann ist ihr Produkt die Kategorie \(\mathcal{D} = \prod_{i \in I} \mathcal{C}_i\) mit Objekten

\begin{align*} \mathrm{Ob}(\mathcal{D}) \coloneqq \prod_{i \in I}^{} \mathrm{Ob}(\mathcal{C}_i) \end{align*}

und Morphismen

\begin{align*} \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(X,Y) \coloneqq \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_i}(X_i,Y_i) \end{align*}

Dabei ist die Komposition von Morphismen komponentenweise definiert.

for small categories, the product category is defined as categorical product in Category Cat