preimage commutes with intersections

Seien \(X,Y\) Mengen und \(f: X \rightarrow Y\) eine Abbildung. Dann gilt für eine Familie von Teilmengen \(Y_i \subseteq Y\)

\begin{align*} f^{-1}[\bigcap_{i \in I} Y_i] = \bigcap_{i \in I} f^{-1}[Y_i] \end{align*}

Sei \(x \in f^{-1}[\bigcap_{i \in I} Y_i]\) so ist dies äquivalent zu \(f(x) \in \bigcap_{i \in I} Y_i\). Dies ist aber äquivalent zu \(f(x) \in Y_i\) für alle \(i \in I\). Dies wiederrum ist äquivalent zu \(x \in f^{-1}[Y_i]\) für alle \(i \in I\) und damit auch äquivalent zu \(x \in \bigcap_{i \in I} f^{-1}[Y_i]\)