Verknüpfung von Isomorphismen als Isomorphismus

Sei \(\mathcal{C}\) eine Kategorie und \(A,B,C \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})\) mit \(f: A \rightarrow B\) und \(g: B \rightarrow C\) als Isomorphismus, so ist

\begin{align*} g \circ f: A \rightarrow C \end{align*}

ebenfalls iso

Nach Annahme existieren \(f^{-1}: B \rightarrow A\) und \(g^{-1}: C \rightarrow B\). Daraus folgt für \(f^{-1} \circ g^{-1}: C \rightarrow A\):

\begin{align*} f^{-1} \circ g^{-1} \circ g \circ f =& f^{-1} \circ \mathrm{id}_{B} \circ f \\ =& f^{-1} \circ f \\ =& \mathrm{id}_{A} \\ g \circ f \circ f^{-1} \circ g^{-1} =& g \circ \mathrm{id}_{B} \circ g^{-1} \\ =& g \circ g^{-1} \\ =& \mathrm{id}_{C} \end{align*}