Allgemeine Distributivgesetz für Vereinigung und Schnitt

1. Satz

Sei \(M\) eine Menge und \(A_i \subseteq M\) bzw. \(B_j \subseteq M\) Mengenfamilien. Dann gilt:

\begin{align*} \bigcup_{i \in I} A_i \cap \bigcup_{j \in J} B_j = \bigcup_{(i,j) \in I \times J} A_i \cap B_j \end{align*}

2. Beweis

2.1. a)

Sei \(a \in \bigcup_{i \in I} A_i \cap \bigcup_{j \in J} B_j\), so existieren \(i \in I\) bzw. \(j \in J\) mit \(a \in A_i, a \in B_j\) Damit folgt \(a \in A_i \cap B_j \subseteq \bigcup_{(i,j) \in I \times J} A_i \cap B_j\)

2.2. b)

Sei \(a \in \bigcup_{(i,j) \in I \times J} A_i \cap B_j\), so existiert ein \((i,j) \in I \times J\) mit \(a \in A_i \cap B_j\). Damit folgt \(a \in A_i \subseteq \bigcup_{i \in I} A_i\) und \(a \in B_j \subseteq \bigcup_{j \in J} B_j\) und insgesamt

\begin{align*} \bigcup_{i \in I} A_i \cap \bigcup_{j \in J} B_j \end{align*}