finite union of compact sets

Sei \((X, \mathcal{T})\) ein topologischer Raum und \(K_i\) für \(i \in \{0,..,n\}\) kompakte Mengen Dann ist

\begin{align*} K \coloneqq \bigcup_{i =1}^{n} K_i \end{align*}

ebenfalls kompakt

Sei \(\bigcup_{i} O_i\) eine offene Überdeckung von \(K\). Insbesondere wird jedes \(K_i\) überdeckt und nach Annahme existiert eine endliche (offene) Teilüberdeckung. Daraus folgt, dass die Vereinigung dieser endlichen Teilüberdeckungen sowohl endlich als auch eine Teilüberdeckung von ganz \(K\) ist.