closed subset of a compact space as compact set

Sei \((X, \mathcal{T})\) ein kompakter topologischer Raum und \(A \subseteq X\) abgeschlossen. Dann ist \(A\) Kompakt

Da \(A\) abgeschlossen ist, folgt, dass \(X \setminus A\) offen ist. Sei \((O_i)_{i \in I}\) eine offene Überdeckung von \(A\), so ist \(O_i\) mit \(X \setminus A\) eine offene Überdeckung von ganz \(X\). Nach Annahme existiert eine endliche Teilüberdeckung und nachdem man gegebenfalls \(X \setminus A\) entfernt liegt eine endliche Teilüberdeckung von \(X \setminus (X \setminus A) = A\) vor. Damit ist \(A\) kompakt.