image and union
1. Satz
Seien \(M,N\) Mengen, \(M_i \subseteq M\) eine Familie von Teilmengen und \(f: M \rightarrow N\) eine Abbildung. Dann gilt für das Bild:
\begin{align*} f[\bigcup_{i \in I} M_i] = \bigcup_{i \in I} f[M_i] \end{align*}2. Beweis
2.1. a)
Sei \(n \in f[\bigcup_{i \in I} M_i]\), so existiert ein \(m \in \bigcup_{i \in I} M_i\) mit \(f(m) = n\). Insbesondere existiert wegen \(m \in \bigcup_{i \in I} M_i\) auch ein \(i \in I\) mit \(m \in M_i\). Damit folgt \(n \in f[M_i] \subseteq \bigcup_{i \in I} f[M_i]\) bzw. \(n \in \bigcup_{i \in I} f[M_i]\)
2.2. b)
Sei \(n \in \bigcup_{i \in I} f[M_i]\), so existiert ein \(i \in I\) mit \(n \in f[M_i]\). Ferner auch ein \(m \in M_i\) mit \(f(m) = n\). Damit folgt aber \(m \in \bigcup_{i \in I} M_i\) und somit \(n \in f[\bigcup_{i \in I} M_i]\)