intersection of equivalence relations as equivalence relation
1. Proposition
Sei \(X\) eine Menge, \(\sim_i\) Äquivalenzrelationen auf \(X\) für \(i \in I\). Dann ist der schnitt der Äquivalenzrelationen, d.h. die Relation
\begin{align*} x \sim y :\Leftrightarrow x \sim_i y \forall i \in I \end{align*}eine Äquivalenzrelation auf \(X\)
2. Proof
2.1. reflexivität
Sei \(x \in X\) und \(i \in I\) beliebig. Dann folgt, da \(\sim_i\) eine Äquivalenzrelation (und damit insbesondere symmetrisch ist) auch \(x \sim_i x\) bzw. da \(i\) beliebig war auch für alle \(i \in I\), dass \(x \sim_i x\) Daraus folgt dann, dass \(x \sim x\)
2.2. Symmetrie
Seien \(x,y \in X\) mit \(x \sim y\). Dann gilt für beliebiges \(i \in I\) auch \(x \sim_i y\) und da \(\sim_i\) eine Äquivalenzrelation (und damit auch insbesondere symmetrisch) ist auch
\begin{align*} y \sim_i x \end{align*}Da \(i \in I\) beliebig war, gilt somit für alle \(i \in I\) \(y \sim_i x\) bzw. nach Definition \(y \sim x\)
2.3. Transitivität
Seien \(x,y,z \in X\) mit \(x \sim y\) und \(y \sim z\). Dann gilt nach Defintion für alle \(i \in I\) auch \(x \sim_i y, y \sim_i z\). Da jedes \(\sim_i\) auch eine Äquivalenzrelation (und damit insbesondere auch transitiv ist) folgt somit auch
\begin{align*} x \sim_i z \end{align*}bzw. da \(i \in I\) beliebig war auch für alle \(i \in I : x \sim_i z\) bzw. nach Definition \(x \sim z\)