opposite group

Definition

Sei \((G,\cdot)\) eine gruppe.
Dann ist die opposite group definiert als Gruppe \((G, \cdot^{\mathrm{op}})\) mit

\begin{align*} g_1 \cdot^{\mathrm{op}} g_2 \coloneqq g_2 \cdot g_1 \end{align*}

Proof

Assoziativität

Es gilt aufgrund der Definition und Assoziativität von \(\cdot\)

\begin{align*} (g_1 \cdot^{\mathrm{op}} g_2) \cdot^{\mathrm{op}} g_3 =& (g_2 \cdot g_1) \cdot^{\mathrm{op}} g_3 \\ =& g_3 \cdot (g_2 \cdot g_1) \\ =& (g_3 \cdot g_2) \cdot g_1 \\ =& (g_2 \cdot^{\mathrm{op}} g_3) \cdot g_1 \\ =& g_1 \cdot^{\mathrm{op}} (g_2 \cdot^{\mathrm{op}} g_3) \\ \end{align*}

Neutrales Element

Es gilt für \(g \in G\)

\begin{align*} g \cdot^{\mathrm{op}} 1 =& 1 \cdot g \\ =& g \end{align*}

analog auch für \(g \cdot^{\mathrm{op}} 1\), d.h. \(1\) ist auch das neutrale Element in \((G, \cdot^{\mathrm{op}})\)

Inverse Element

Es gilt für \(g \in G\) und \(g^{-1} \in G\)

\begin{align*} (g \cdot^{\mathrm{op}} g^{-1}) =& g^{-1} \cdot g \\ =& 1 \end{align*}

analog auch für \(g^{-1} \cdot^{\mathrm{op}} g\), d.h. \(g^{-1}\) ist auch das inverse Element in \((g, \cdot^{\mathrm{op}})\)

alternativ reicht verwendet man die Aussage "linksneutral und linksinverses Element impliziert Gruppe" statt (etwas sloppy) über "analog" zu argumentieren.