Bijektion und Umkehrfunktion

Sei \(g_L: Y \rightarrow X\) ein Linksinverses von \(f\) und \(g_R: Y \rightarrow X\) ein Rechtsinverses von \(f\).
Dann gilt nach Annahme

\begin{align*} g_L \circ f =& \mathrm{id}_X \\ f \circ g_R =& \mathrm{id}_Y \\ \end{align*}

und ferner

\begin{align*} g_L =& g_L \circ \mathrm{id}_X \\ =& g_L \circ f \circ g_R \\ =& \mathrm{id}_Y \circ g_L \\ =& g_L \end{align*}

folgt aus

• Injektion und Rechtsinverse
  
• Surjektion und Linksinverse
  

wobei \(f\) nach Annahme sowohl ein Linksinverses als auch Rechtsinverses ist