Wann darf ich Zeilen bzw. Spaltenumformungen verwenden

Eine Zeilenumformung ist im folgenden definiert als:

1. Addition des \(\lambda\)-fachen der \(i\)-ten Zeile zur \(j\)-ten Zeile für \(i \neq j\)
   
2. das Skalieren von der \(i\)-ten Zeile mit einem Faktor \(\lambda \neq 0, \lambda \in K\)
   
3. das Vertauschen von \(i\)-ter und \(j\)-ter Zeile für \(i \neq j\)
   

Spaltenumformungen sind analog definiert.

Man darf hier 1) + 2) + 3) nur für Zeilen verwenden.

Hier darf man 1) + 2) + 3) für Zeilen und Spalten verwenden.

Hier darf man 1) + 2) + 3) verwenden.
Dabei muss man sich zu Beginn entscheiden, ob man entweder nur Zeilen- oder nur Spaltenumformungen verwendet.
Das Ergbebnis der beiden Varianten ist immer gleich gut (d.h. beide Algorithmen führen zum Ziel g.d.w. die Matrix invertierbar ist).

Meine Empfehlung: verwendet kategorisch nur Zeilenumformungen (die verwendet man schon beim LGS; wenn man die Varianten nicht mischt, dann kann man weniger Fehler machen)

Sei \(A \in K^{n \times n}\)
Hier darf man 1) für Zeilen und Spalten verwenden.

Zudem darf man 2) für Zeilen und Spalten verwenden, muss aber dann das Ergebnis für jede Skalierung mit \(\frac{1}{\lambda}\) multiplizieren
Zudem darf man 3) für Zeilen und Spalten verwenden, muss aber dann das Ergebnis für jede Vertauschung mit einem \((-1)\) multiplizieren.