Wann darf ich Zeilen bzw. Spaltenumformungen verwenden

Eine Zeilenumformung ist im folgenden definiert als:

1. Addition des \(\lambda\)-fachen der \(i\)-ten Zeile zur \(j\)-ten Zeile für \(i \neq j\)
   
2. das Skalieren von der \(i\)-ten Zeile mit einem Faktor \(\lambda \neq 0, \lambda \in K\)
   
3. das vertauschen von \(i\)-ter und \(j\)-ter Zeile für \(i \neq j\)
   

Spaltenumformungen sind analog definiert.

Man darf hier 1) + 2) + 3) nur für Zeilen verwenden.

Hier darf man 1) + 2) + 3) für Zeilen und Spalten verwenden.

Hier darf man 1) + 2) + 3) verwenden.
Dabei muss man sich zu Beginn entscheiden, ob man entweder nur Zeilen- oder nur Spaltenumformungen verwendet.
Das Ergbebnis der beiden Varianten ist immer gleich gut (d.h. beide Algorithmen führen zum Ziel g.d.w. die Matrix invertierbar ist).

Meine Empfehlung: verwendet kategorisch nur Zeilenumformungen (die verwendet man schon beim LGS; wenn man die Varianten nicht mischt, dann kann man weniger Fehler machen)

Sei \(A \in K^{n \times n}\)
Hier darf man 1) für Zeilen und Spalten verwenden.

Zudem darf man 2) für Zeilen und Spalten verwenden, muss aber dann das Ergebnis für jede Skalierung mit \(\frac{1}{\lambda}\) multiplizieren
Zudem darf man 3) für Zeilen und Spalten verwenden, muss aber dann das Ergebnis für jede Vertauschung mit einem \((-1)\) multiplizieren.

Meine Empfehlung: Man kann problemlos konkrete Determinanten auch nur über Laplace-Entwicklung (und ggbf. Sarrus) berechnen.
Für allgemeinere Matrizen (also Matrizen nach einem Schema) ist die Berechnung über Umformungen oft hilfreich.
Dabei sollte man 1) und 2) kennen, Schritt 3) erscheint mir selten hilfreich.