LinAlg 1 - extra wahr / falsch Aufgaben - misc

Warnung

Ich habe 30 Fragen erstellt und wurde gebeten, mehr Fragen aufzuschreiben.

Ich glaube dass diese Fragen eher schwieriger sind als typische wahr / falsch fragen in der Klausur.
Auf jeden Fall gibt es hier einige wahr / falsch aufgaben, die zu schwer wären.

Liste

Mengen

Seien \(A,B,C,D\) Mengen.

i)

Dann existiert eine Abbildung \(f: A \rightarrow B\)

ii)

Es gilt \(A \setminus (A \setminus B) = B\)

iii)

Es gilt \((A \cap B) \times (C \cap D) = (A \times C) \cap (B \times D)\)

iv)

Eine injektive Abbildung \(f: \{1,2,3\} \rightarrow \{1,2,3\}\) ist immer surjektiv.

v)

Die Projektion

\begin{align*} \pi: A \times B \rightarrow B \\ (a,b) \mapsto b \end{align*}

ist surjektiv.

vi)

Eine konstante Abbildung \(f: A \rightarrow B\) (für \(\vert B \vert \geq 1\)) ist nie injektiv.

vii)

Es existieren Mengen \(A_1,A_2,A_3\) und surjektive Abbildungen \(A_1 \twoheadrightarrow A_2, A_2 \twoheadrightarrow A_3\) so dass die Komposition

\begin{align*} A_1 \rightarrow A_3 \end{align*}

injektiv ist.

viii)

Sei \(f: A \rightarrow B\) eine Abbildung und \(U \subseteq A\).
dann folgt \(f^{-1}[f[U]] = U\)

ix)

Sei \(f: A \rightarrow B\) eine Abbildung und \(U \subseteq B\).
dann folgt \(f[f^{-1}[U]] = U\)

x)

Seien \(f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z\) surjektive Abbildungen.
Dann ist auch \(g \circ f\) surjektiv

xi)

Seien \(f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z\) injektive Abbildungen zwischen endlichen Mengen.
Dann ist auch \(g \circ f\) injektiv

xii)

Seien \(f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z\) injektive Abbildungen.
Dann ist auch \(g \circ f\) injektiv

xiii)

Seien \(f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z\) Abbildungen so dass \(g \circ f\) injektiv ist.
Dann ist auch \(f\) injektiv

xiv)

Seien \(f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z\) Abbildungen so dass \(g \circ f\) injektiv ist.
Dann ist auch \(g\) injektiv

xv)

Seien \(f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z\) Abbildungen so dass \(g \circ f\) surjektiv ist.
Dann ist auch \(f\) surjektiv

xvi)

Seien \(f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z\) Abbildungen so dass \(g \circ f\) surjektiv ist.
Dann ist auch \(g\) surjektiv

xv)

Seien \(f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z\) Abbildungen so dass \(g \circ f\) bijektiv ist.
Dann ist auch \(f\) bijektiv

xvi)

Seien \(f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z\) Abbildungen so dass \(g \circ f\) bijektiv ist.
Dann ist auch \(g\) bijektiv

xvii)

Sei \(\mathcal{P}(A)\) die Potenzmenge.
Die Abbildung

\begin{align*} \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(A) \\ B \mapsto A \setminus B \end{align*}

ist bijektiv.

xviii)

Die Menge \(\{1,1\} \subseteq \mathbb{N}\) enthält \(2\) Elemente.

Gruppen

Seien \(G,H\) Gruppen.

i)

Es existiert stets ein Gruppenhomomorphismus \(\varphi: G \rightarrow H\)

ii)

Es existiert eine Gruppe mit \(7\) Elementen und einer Untergruppe mit \(3\) Elementen.

iii)

für einen Körper \(K\) ist die Gruppe \(\mathrm{GL}_n(K)\) abelsch gdw. \(n \leq 1\)

iv)

Sei \(G\) eine Gruppe und \(U_1,U_2\) Untergruppen der Ordnung \(2\).
Dann folgt \(U_1 = U_2\)

v)

Sei \(G\) eine Gruppe und \(U_1,U_2\) Untergruppen der Ordnung \(2\).
Dann folgt \(U_1 \cong U_2\), d.h. es existiert ein Gruppenisomorphismus \(U_1 \cong U_2\)

vi)

Sei \(G\) eine Gruppe und \(U_1,U_2\) Normalteiler, so dass ein Gruppenisomorphismus \(U_1 \cong U_2\) existiert.
Dann folgt \(G/U_1 \cong G/U_2\)

vii)

Es existiert eine Gruppe mit 2026 Elementen

viii)

Sei \(K\) ein Körper, \(G\) eine Gruppe und \(\varphi: G \rightarrow K^{\times}\) ein Gruppenhomomorphismus.
dann folgt \(\{ghg^{-1}h^{-1} \vert g,h \in G\} \subseteq \mathrm{ker}(\varphi)\)

ix)

Sei \(\varphi: G \twoheadrightarrow H\) ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
Ist \(G\) abelsch, so auch \(H\)

x)

Sei \(\varphi: G \twoheadrightarrow H\) ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
Ist \(H\) abelsch, so auch \(G\)

xi)

Sei \(\varphi: G \hookrightarrow H\) ein injektiver Gruppenhomomorphismus.
Ist \(H\) abelsch, so auch \(G\)

xii)

Sei \(\varphi: G \hookrightarrow H\) ein injektiver Gruppenhomomorphismus.
Ist \(G\) abelsch, so auch \(H\)

xiii)

Sei \(\varphi: G \twoheadrightarrow H\) ein Gruppenisomorphismus
Dann ist \(G\) abelsch gdw. \(H\) abelsch ist.

xiv)

Es existiert ein Normalteiler \(N \trianglelefteq S_3\) mit \(\vert N \vert = 2\)

xv)

Je zwei Gruppen mit 4 Elementen sind Isomorph.

xvi)

Es gilt für \(g,h \in G\) die Gleichung

\begin{align*} (g \cdot h)^{-1} = h^{-1} \cdot g^{-1} \end{align*}

xvii)

Für \(g \in G\) gilt: \(g^2 = e \Rightarrow g = e\)

xviii)

Für \(g \in G\) gilt: \(g^2 = g \Rightarrow g = e\)

xiv)

Es gilt für \(g,h \in G\) die Gleichung

\begin{align*} (g \cdot h)^{2} = g^2 h^2 \end{align*}

xv)

Es existieren element \(g,h \in G \setminus \{e\}\) mit \(g \cdot h = e\)

xvi)

Sei \(U \subseteq G\) eine Teilmenge, so dass gelte

\(1 \in U\)
\(u_1,u_2 \in U \Rightarrow u_1 \cdot u_2 \in G\)

Dann ist \(U\) eine Untergruppe

xvii)

Sei \(G\) abelsch und \(U \subseteq G\) eine Teilmenge, so dass gelte

\(1 \in U\)
\(u_1,u_2 \in U \Rightarrow u_1 \cdot u_2 \in G\)

Dann ist Untergruppe

xviii)

Sei \(G\) endlich und \(U \subseteq G\) eine Teilmenge, so dass gelte

\(1 \in U\)
\(u_1,u_2 \in U \Rightarrow u_1 \cdot u_2 \in G\)

Dann ist Untergruppe

xix)

\((\mathbb{R}, \cdot)\) ist eine Gruppe.

xx)

Die Alternierende Gruppe \(A_{16}\) hat eine Untergruppe mit \(17\) Elementen.

Ringe

i)

Sei \(R\) ein Ring und \(a,b \in R\) mit \(a \cdot b = 0\).
Dann folgt \(a = 0\) oder \(b = 0\)