LinAlg 1 - extra wahr / falsch Aufgaben zu Vektorräumen und Matrizen

Warnung

Ich hatte 30 Fragen erstellt und wurde gebeten, mehr Fragen aufzuschreiben.
Ich denke ich werde in meinem Montagstutorium jetzt öfters wahr / falsch Aufgaben besprechen, ihr dürft gerne

Ich glaube dass diese Fragen eher schwieriger sind als typische wahr / falsch fragen in der Klausur.
Auf jeden Fall gibt es hier einige wahr / falsch aufgaben, die zu schwer wären.

Liste

Vektorräume & Matrizen

Sei \(K\) ein Körper.
Sei im Folgenden \(\varphi: V \rightarrow W\) eine K-lineare Abbildung zwischen endlich dimensionalen K-VR.

i)

Sei \(M \subseteq V\) eine Teilmenge und \(\varphi[M] \subseteq W\) ein UVR.
Dann ist \(M\) auch ein UVR von \(V\).

ii)

Seien \(v \neq v'\) Vektoren in \(V\), so existiert eine K-lineare Abbildung \(f: V \rightarrow K\) mit \(f(v) \neq f(v')\)

iii)

Seien \(V,W\) Vektorräume über dem Körper \(K = \mathbb{Z}/p \mathbb{Z}\) und \(\psi: V \rightarrow W\) ein Gruppenhomomorphismus zwischen den additiven Gruppen.
Dann ist \(\psi\) schon ein Vektorraumhomomorphismus.

iv)

Seien \(V,W\) Vektorräume über dem Körper \(K = \mathbb{Q}\) und \(\psi: V \rightarrow W\) ein Gruppenhomomorphismus zwischen den additiven Gruppen.
Dann ist \(\psi\) schon ein Vektorraumhomomorphismus.

v)

Sei \(\{v_1,...,v_n\}\) eine Basis von \(V\) und \(U \subseteq V\) ein UVR.
Dann ist \(U \cap \{v_1,...,v_n\}\) eine Basis von \(U\)

vi)

Wenn \(\{v_1,v_2,v_3\}\) linear abhängig ist, dann ist \(v_3\) eine Linearkombination von \(v_1\) und \(v_2\).

vii)

Es gilt \(\mathrm{dim}(K^{n \times m}) = n \cdot m\)

viii)

Sei \(A: K^n \rightarrow K^n\) ein Automorphismus.
Dann ist \(\mathrm{tr}(A) = \mathrm{dim}(K^n) = n\)

ix)

\(\varphi\) bildet linear unabhängige Mengen auf linear unabhängige Mengen ab.

x)

Jeder VR besitzt stets mindestens zwei UVR.

xi)

Für beliebige Matrizen \(A,B \in K^{n \times n}\) gilt: \((A + B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB\)

xii)

Es existieren Matrizen \(A,B \in K^{5 \times 5} \setminus \{0\}\) mit \(A \cdot B = 0\)

xiii)

Es existiert eine Matrix \(A \in K^{5 \times 5} \setminus \{0\}\) mit \(A \cdot A = 0\)

xiv)

Für \(A \in K^{n \times n}\) gilt \(\mathrm{det}(A + E_n) = \mathrm{det}(A) + 1\)

xv)

Für \(A,B \in K^{n \times n} \setminus \mathrm{GL}_n(K)\) gilt \(\mathrm{det}(A + B) = 0\)

xvi)

Sei \(f: V \rightarrow V\) eine \(K\)-lineare Abbildung, so folgt \(\mathrm{ker}(f) \cap \mathrm{im}(f) = \{0\}\)

xvii)

Sei \(A \in K^{n \times n}\) eine Matrix und \(B = A^t\) die transponierte.
Seien \(\varphi_A, \varphi_B: K^n \rightarrow K^n\) die zugehörigen VR-Homomorphismen.
Dann gilt \(\mathrm{im}(\varphi_A) = \mathrm{im}(\varphi_B)\)

xviii)

xix)

Sei \(A \in K^{n \times n}\) eine Matrix und \(B \in K^{n \times m}\)
Sei \(C = (A,B) \in K^{n \times (n + m)}\).
Dann gilt \(\mathrm{rank}(C) = \mathrm{rank}(A)\)

xx)

Sei \(A \in K^{n \times n}\) eine Matrix und \(B \in K^{n \times m}\)
Sei \(C = (A,B) \in K^{n \times (n + m)}\).
Dann gilt \(\mathrm{rank}(C) \neq \mathrm{rank}(A)\)

xxi)

Sei \(A \in K^{n \times n}\) eine Matrix und \(B \in K^{n \times m}\)
Sei \(C = (A,B) \in K^{n \times (n + m)}\).
Dann gilt \(\mathrm{rank}(C) \geq \mathrm{rank}(A)\)

xxii)

Sei \(A \in K^{n \times n}\) eine Matrix und \(B \in K^{n \times m}\)
Sei \(C = (A,B) \in K^{n \times (n + m)}\).
Dann gilt \(\mathrm{rank}(C) \leq \mathrm{rank}(A)\)

xxiii)

Sei ein lineares Gleichungssystem

\begin{align*} \alpha_{1,1} x_1 + ... \alpha_{1,n} x_n =& y_1 \\ \ddots& \\ \alpha_{m,1} x_1 + ... \alpha_{m,n} x_n =& y_m \\ \end{align*}

gegeben.
Seien \((\beta_1,...,\beta_n), (\beta_1',...,\beta_n')\) Lösungen vom linearen Gleichungssystem.
Dann ist auch \((\beta_1 + \beta_1',...,\beta_n + \beta_n')\) eine Lösung.

xxiv)

Die Abbildung

\begin{align*} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ x \mapsto mx + t_0 \end{align*}

ist linear für \(m,t_0 \in \mathbb{R}\)

xxv)

Sei \(A \in K^{n \times n}\) eine Matrix mit \(A^t = \alpha A\) für ein \(\alpha \in K \setminus \{1\}\).
Dann folgt \(A = 0\)

xxvi)

Es gilt für \(A \in K^{n \times n}\)

\begin{align*} \mathrm{det}(-A) = (-1) \mathrm{det}(A) \end{align*}

xxvii)

Es gilt für \(A \in K^{n \times n}\) und \(\alpha \in K\)

\begin{align*} \mathrm{det}(\alpha \cdot A) = \alpha \cdot \mathrm{det}(A) \end{align*}

xxviii)

Es gilt für \(A \in \mathrm{Gl}_n(K)\)

\begin{align*} \mathrm{det}(A^{-1}) = (-1) \cdot \mathrm{det}(A) \end{align*}

xxix)

Sei \(A \in K^{n \times n}\) so dass die Abbildung

\begin{align*} A: K^n \rightarrow K^n x \mapsto x \cdot A \end{align*}

surjektiv ist.
Dann folgt \(\mathrm{det}(A) \neq 0\)

xxx)

Sei \(A \in K^{n \times n}\) so dass die Abbildung

\begin{align*} A: K^n \rightarrow K^n x \mapsto A \cdot x \end{align*}

surjektiv ist.
Dann folgt \(\mathrm{det}(A) \neq 0\)

xxxi)

Es existiert eine Matrix \(A \in K^{n \times n}\) mit \(\mathrm{det}(A) = 0\) so dass

\begin{align*} A: K^n \rightarrow& K^n \\ x \mapsto& A x \end{align*}

injektiv ist

xxxii)

Der Schnitt von zwei Untervektorräumen ist nichtleer.

xxxiii)

Sei \(K^n\) gegeben und \(U_1,U_2\) zwei \(n-1\) dimensionale Unterräume.
Dann ist \(U_1 \cap U_2\) ein \(n-2\) dimensionaler Raum

xxxiii)

Die Relation

\begin{align*} v_1 \sim v_2 \begin{cases} v_1 = v_2 \\ \{v_1, v_2\} \textrm{ ist linear abhängig} \end{cases} \end{align*}

definiert eine Äquivalenzrelation auf \(V \setminus \{0\}\)

xxxiv)

Sei \(V\) ein endlich erzeugter Vektorraum.
Dann ist \(V\) auch endlich dimensional.

xxxv)

Jeder Vektorraum besitzt eine kanonische Basis.
Alternativ: Jeder Vektorraum besitzt eine kanonische Basis.

xxxvi)

Sei \(\{v_1,...,v_{n-1}\}\) eine \(n-1\) elementige Teilmenge von \(K^{n}\).
Dann existiert ein \(v_n\) so dass \(\{v_1,...,v_{n-1},v_n\}\) eine Basis ist.

xxxvii)

Sei \(\{v_1,...,v_{n+1}\}\) eine \(n+1\) elementige Teilmenge von \(K^{n+1}\).
Dann ist eine Teilmenge von \(\{v_1,...,v_{n+1}\}\) eine Basis.

xxxviii)

Seien \(V,W\) endlich dimensionale Vektorräume und \(\varphi: V \rightarrow W\) ein VR-Mono.
Dann ist \(\varphi\) auch ein VR-Iso

xxxix)

Sei \(A \in \mathbb{Q}^{n \times m} \subseteq \mathbb{R}^{n \times m}\) eine Matrix bzw. das dazugehörige Lineare Gleichungssystem.
Angenommen \(A\) hat reelle Lösungen, dann hat \(A\) auch rationale Lösungen.

xl)

Seien \(V,W\) endlich erzeugte \(\mathbb{Q}\)-Vektorräume und \(f: V \rightarrow W\) eine \(\mathbb{Q}\)-lineare Abbildung.
Angenommen \(\mathrm{dim}(V) > \mathrm{dim}(W)\), dann folgt für \(w \in \mathrm{im}(f)\)

\begin{align*} \vert f^{-1}[ \{w\}] \vert = \infty \end{align*}

xli)

Sei \(V\) ein endlich dimensionaler VR und \(L_1,L_2: V \rightarrow V\) VR-Endomorphismen.
Dann gilt

\begin{align*} \mathrm{rank}(L_1) + \mathrm{rank}(L_2) - \mathrm{dim}(V) \leq \mathrm{rank}(L_1 \circ L_2) \end{align*}

xlii)

Sei \(V\) ein endlich dimensionaler VR und \(L_1,L_2: V \rightarrow V\) VR-Endomorphismen.
Dann gilt

\begin{align*} \mathrm{rank}(L_1) + \mathrm{rank}(L_2) - \mathrm{dim}(V) \geq \mathrm{rank}(L_1 \circ L_2) \end{align*}

xliii)

Sei \(V\) ein endlich dimensionaler VR und \(L_1,L_2: V \rightarrow V\) VR-Endomorphismen.
Dann gilt

\begin{align*} \mathrm{rank}(L_1) + \mathrm{rank}(L_2) - \mathrm{dim}(V) = \mathrm{rank}(L_1 \circ L_2) \end{align*}

xliv)

Sei \(U \subseteq V\) eine additive untergruppe von einem \(K\)-Vektorraum.
Dann ist \(U\) schon ein UVR

xlv)

Es existiert ein Körper \(K\), so dass \(\mathbb{Z}\) ein \(K\)-VR ist.

xlvi)

Für jeden VR-Endomorphismus \(f: V \rightarrow V\) gilt

\begin{align*} V = \mathrm{ker}(f) \oplus \mathrm{im}(f) \end{align*}

xlvii)

seien \(f: V \rightarrow W, g: W \rightarrow V\) \(K\)-linear und \(g \circ f = \mathrm{id}_V\).
Dann gilt

\begin{align*} \mathrm{im}(f) \cap \mathrm{ker}(g) = \{0\} \end{align*}

xlviii)

seien \(f: V \rightarrow W, g: W \rightarrow V\) \(K\)-linear und \(g \circ f = \mathrm{id}_V\).
Dann gilt

\begin{align*} \mathrm{im}(g) \cap \mathrm{ker}(f) = \{0\} \end{align*}

xlix)

Sei \(f: V \rightarrow V\) eine K-lineare abbildung zwischen endlich dimensionalen VR.
Dann sind äquivalent

\(V = \mathrm{im}(f) + \mathrm{ker}(f)\)
\(V = \mathrm{im}(f) \oplus \mathrm{ker}(f)\)

l)

Sei \(p\) eine Primzahl, dann existiert ein Lineares Gleichungssystem über \(\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}\) mit genau \(p-1\) vielen Lösengen

li)

Sei \(V\) ein 7-dimensionaler K-VR und \(U_1,U_2\) UVR von dimension \(5\) und \(4\).
Dann ist \(U_1 \cap U_2\) mindestens 2 dimensional

lii)

Sei \(A \in K^{n \times n}\) mit \(A \cdot A^t = E_n\)
Dann gilt \(\mathrm{det}(A) = \pm 1\)

liii)

Sei \(A \in K^{m \times n}\) so dass die induzierte Abbildung \(f: K^n \rightarrow K^m\) surjektiv ist.
Dann folgt dass \(A \cdot A^t: K^m \rightarrow K^m\) invertierbar ist.

liv)

Es existiert ein endlich dimensionaler K-VR \(V\) und endomorphismen \(f_1,f_2: V \rightarrow V\) mit

\(f_1,f_2 \neq 0\)
\(f_1 \circ f_2 = f_2 \circ f_1 = 0\)

lv)

Sei \(V\) ein endlich dimensionaler K-VR und \(f_1: V \rightarrow V\) ein nicht-invertierbarer Endomorphismus.
Dann existiert ein Endomorphismus \(f_2\) mit

\(f_2 \neq 0\)
\(f_1 \circ f_2 = f_2 \circ f_1 = 0\)

lvi)

Sei \(V\) ein endlich dimensionaler K-VR und \(f_1: V \rightarrow V\) ein Endomorphismus.
Dann existiert ein Endomorphismus \(f_2\) mit

\(f_2 \neq 0\)
\(f_1 \circ f_2 = f_2 \circ f_1 = 0\)

lvii)

Sei \(f: V \rightarrow W\) ein VR-Homomorphismus.
Sei \(\{v_1,...,v_n\}\) linear unabhängig und \(\mathrm{ker}(f) \cap \{v_1,...,v_n\} = \emptyset. Dann ist auch \{f(v_1),...,f(v_n)\}\) linear unabhängig.

lviii)

Sei \(f: V \rightarrow W\) ein VR-Homomorphismus.
Angenommen \(\{f(v_1),...,f(v_n)\}\) ist linear unabhängig und hat \(n\) elemente.
Dann ist auch \(\{v_1,...,v_n\}\) linear unabhängig.

lix)

Sei \(W \subseteq V\) eine teilmenge.
Angenommen jede endliche teilmenge von \(W\) ist linear unabhängig.
Dann ist auch \(W\) linear unabhängig.

lx)

Sei \(f: V \rightarrow W\) ein VR-Homomorphismus.
Sei \(\{v_1,...,v_m\}\) linear unabhängig so dass \(\{v_1,...,v_n\}\) eine Basis von \(\mathrm{ker}(f)\) ist.
Dann ist \(\{f(v_{n+1}),...,f(v_{m})\}\) linear unabhängig.

lxi)

Sei \(f: W \rightarrow V\) ein VR-Homomorphismus.
Sei \(\mathcal{B}\) eine Basis von \(W\), so dass \(f[\mathcal{B}]\) eine Basis von \(V\) ist.
Dann ist \(f\) ein Isomorphismus.

lxii)

Sei \(f: W \rightarrow V\) ein VR-Homomorphismus.
Sei für jede Basis \(\mathcal{B}\) von \(W\) das Bild \(f[\mathcal{B}]\) eine Basis von \(V\).
Dann ist \(f\) ein Isomorphismus.

lxiii)

Sei \(f: W \rightarrow V\) ein VR-Homomorphismus.
Sei \(\mathcal{B}\) eine Basis von \(W\), so dass \(f[\mathcal{B}]\) linear abhängig ist.
Dann ist \(f\) ein VR-Epimorphismus.

lxiv)

Sei \(f: W \rightarrow V\) ein VR-Homomorphismus.
Sei für jede Basis \(\mathcal{B}\) von \(W\) das Bild \(f[\mathcal{B}]\) linear unabhängig von \(V\).
Dann ist \(f\) ein Monomorphismus.

lxv)

Die Abbildung

\begin{align*} f: \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} x \mapsto x^2 \end{align*}

ist \(\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}\)-linear

lxvi)

Es existiert ein K-VR, so dass \(\emptyset\) eine Basis ist.

lxvii)

Sei \(V\) ein endlich erzeugter K-VR und \(W\) ein UVR.
Dann existiert ein endomorphismus \(f: V \rightarrow V\) so dass ein VR-Isomorphismus \(V/\mathrm{ker}(f) \cong W\) existiert.

lxviii)

Sei \(U \subseteq V\) ein UVR.
Sei \(v \in U, w \in V \setminus U\), dann gilt \(w + u \not\in U\)

lxix)

Sei \(U \subseteq V\) ein UVR.
Sei \(\lambda \in K\) und \(v \in V \setminus U\), dann gilt auch

\begin{align*} \lambda \cdot v \not\in U \end{align*}

lxx)

Sei \(f: V \rightarrow W\) kein VR-Isomorphismus.
Dann folgt \(\mathrm{dim}(V) \neq \mathrm{dim}(W)\)

lxxi)

Sei \(V\) ein Vektorraum und \(U\) ein Untervektorraum mit \(\mathrm{dim}(V) = \mathrm{dim}(U)\).
Dann folgt auch \(U = V\)

lxxii)

Sei \(V\) ein endlich erzeugter Vektorraum und \(U\) ein Untervektorraum mit \(\mathrm{dim}(V) = \mathrm{dim}(U)\).
Dann folgt auch \(U = V\)

lxxiii)

Jede Teilmenge einer linear unabhängigen Menge ist linear unabhängig.

lxxiv)

Seien \(V,W\) K-VR mit \(\mathrm{dim}(V) = 5, \mathrm{dim}(W) = 3\) und \(f: V \rightarrow W\) ein VR-Epi.
Dann existiert ein Unterraum \(U\) mit \(\mathrm{dim}(U) = 2\) und einem VR-Iso \(V/U \rightarrow W\)

lxxv)

Seien \(\{v_1,...,v_m\}, \{w_1,...,w_n\}\) Erzeugendensysteme von \(V\).
Dann gilt \(m = n\)

lxxvi)

Sei \((\mathbb{R},+,\cdot)\) die reellen Zahlen mit der üblichen Multiplikation & Addition.
Dann ist \(\mathbb{R}\) eine \(\mathbb{Q}\)-VR