LinAlg 1 - extra wahr / falsch Aufgaben - misc (Lösungen)
Liste
Mengen
Seien 
Mengen.
i) - falsch
Dann existiert eine Abbildung 
ii) - falsch
Es gilt 
iii) - wahr
Es gilt 
iv) - wahr
Eine injektive Abbildung 
ist immer surjektiv.
v) - falsch
Die Projektion
ist surjektiv.
Die Abbildung ist surjektiv gdw 
vi) - falsch
Eine konstante Abbildung (für 
) ist nie injektiv.
vii) - wahr
Es existieren Mengen 
und surjektive Abbildungen 
so dass die Komposition
injektiv ist.
viii) - falsch
Sei eine Abbildung und 
.
dann folgt 
Die Aussage ist (nur) wahr, wenn 
(hinreichend) injektiv ist.
ix) - falsch
Sei eine Abbildung und 
.
dann folgt 
Die Aussage ist (nur) wahr, wenn (hinreichend) surjektiv ist.
x) - wahr
Seien 
surjektive Abbildungen.
Dann ist auch 
surjektiv
xi) - wahr
Seien injektive Abbildungen zwischen endlichen Mengen.
Dann ist auch injektiv
xii) - wahr
Seien injektive Abbildungen.
Dann ist auch injektiv
xiii) - wahr
Seien Abbildungen so dass injektiv ist.
Dann ist auch injektiv
xiv) - falsch
Seien Abbildungen so dass injektiv ist.
Dann ist auch 
injektiv
xv) - falsch
Seien Abbildungen so dass surjektiv ist.
Dann ist auch surjektiv
xvi) - wahr
Seien Abbildungen so dass surjektiv ist.
Dann ist auch surjektiv
xv) - falsch
Seien Abbildungen so dass bijektiv ist.
Dann ist auch bijektiv
xvi) - falsch
Seien Abbildungen so dass bijektiv ist.
Dann ist auch bijektiv
xvii) - wahr
Sei 
die Potenzmenge.
Die Abbildung
ist bijektiv.
xviii) - falsch
Die Menge 
enthält 
Elemente.
Gruppen
Seien 
Gruppen.
i) - wahr
Es existiert stets ein Gruppenhomomorphismus 
die Abbildung 
ist ein Gruppenhomomorphismus.
ii) - falsch
Es existiert eine Gruppe mit 
Elementen und einer Untergruppe mit 
Elementen.
iii) - wahr
für einen Körper 
ist die Gruppe 
abelsch gdw. 
iv) - falsch
Sei 
eine Gruppe und 
Untergruppen der Ordnung .
Dann folgt 
z.B. 
und 
v) - wahr
Sei eine Gruppe und Untergruppen der Ordnung .
Dann folgt 
, d.h. es existiert ein Gruppenisomorphismus
Folgt daraus, dass es bis auf Isomorphie nur eine Gruppe mit zwei Elementen gibt:
Es gibt zwei Elemente
vi) - falsch
Sei eine Gruppe und Normalteiler, so dass ein Gruppenisomorphismus existiert.
Dann folgt 
falsch z.B.
wobei 
ein Gruppenisomorphismus ist.
wobei 
vii) - wahr
Es existiert eine Gruppe mit 2026 Elementen
wahr, z.B. $/2026
viii) - wahr
Sei ein Körper, eine Gruppe und 
ein Gruppenhomomorphismus.
dann folgt 
ix) - wahr
Sei 
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
Ist abelsch, so auch 
x) - falsch
Sei ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
Ist abelsch, so auch
xi) - wahr
Sei 
ein injektiver Gruppenhomomorphismus.
Ist abelsch, so auch
xii) - falsch
Sei ein injektiver Gruppenhomomorphismus.
Ist abelsch, so auch
xiii) - wahr
Sei ein Gruppenisomorphismus
Dann ist abelsch gdw. abelsch ist.
xiv) - falsch
Es existiert ein Normalteiler 
mit 
Wenn eine Untergruppe 
einen 3-Zykel enthält, dann0
xv) - falsch
Je zwei Gruppen mit 4 Elementen sind Isomorph.
z.b. 
:
Für 
gilt immer 
, während in 
gilt 
xvi) - wahr
Es gilt für 
die Gleichung
xvii) - falsch
Für 
gilt: 
xviii) - wahr
Für gilt: 
xiv) - falsch
Es gilt für die Gleichung
xv) - wahr
Es existieren Elemente 
mit 
xvi) - falsch
Sei 
eine Teilmenge, so dass gelte
Dann ist 
eine Untergruppe
z.b. 
xvii) - falsch
Sei abelsch und eine Teilmenge, so dass gelte
Dann ist Untergruppe
xviii) - falsch
Sei endlich und eine Teilmenge, so dass gelte
Dann ist Untergruppe
xix) - falsch
ist eine Gruppe.
da 
kein inverses hat
xx) - falsch
Die Alternierende Gruppe 
hat eine Untergruppe mit 
Elementen.
satz von Lagrange und 
da eine Primzahl ist.
Ringe
i) - falsch
Sei 
ein Ring und 
mit 
.
Dann folgt 
oder 
z.B. nullteiler