LinAlg 1 - Extra Rechenaufgaben

Disclaimer

ich habe bloß paar random Zahlen (in \(\mathbb{Z}\)) erfunden.
Euer Ergebnis könnt ihr z.B. mit Sage / Wolframalpha überprüfen

Liste

Determinante

a)

Berechne die Determinanten von

\begin{align*} B =& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix} \\ G =& \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 4 \end{pmatrix} \\ H =& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 0 \end{pmatrix} \end{align*}

über \(\mathbb{Q}\)
über \(\mathbb{R}\)
über \(\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}\)
über \(\mathbb{Z}/3 \mathbb{Z}\)
über \(\mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}\)
über \(\mathbb{Z}/7 \mathbb{Z}\)

a)

Inverse

Bestimme Rang, bestimme ob die Inverse Matrix existiert bzw. berechne diese

\begin{align*} B =& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \\ C =& \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \\ E =& \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\ F =& \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \\ G =& \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \\ H =& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{align*}

über \(\mathbb{Q}\)
über \(\mathbb{R}\)
über \(\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}\)
über \(\mathbb{Z}/3 \mathbb{Z}\)
über \(\mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}\)
über \(\mathbb{Z}/7 \mathbb{Z}\)

b)

Sei \(A(t) = \begin{pmatrix} t & 1 & 1 & 1 \\ 1 & t & 1 & 1 \\ 1 & 1 & t & 1 \\ 1 & 1 & 1 & t \end{pmatrix}\)

a) Berechne det(A(t)) als Funktion von t
b) Für welche Werte von t ist A(t) singulär?
c) bestimme \(A(t)^{-1}\)

LGS

Finde alle Lösungen von den folgenden LGS

über \(\mathbb{Q}\)
über \(\mathbb{R}\)
über \(\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}\)
über \(\mathbb{Z}/3 \mathbb{Z}\)
über \(\mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}\)
über \(\mathbb{Z}/7 \mathbb{Z}\)

Falls es mehrere Lösungen gibt, dann gib die Lösungsmenge in Form von \(v + \langle u_1,u_2,...,u_n\rangle\) an, wobei \(\{u_1,...,u_n\}\) linear unabhängig ist.

a)

\begin{align} 2x + 3y - z &= 5 \\ x - y + 2z &= 3 \\ 3x + 2y + z &= 8 \end{align}

b)

\begin{align} 7x + 4y + 2z &= 5 \\ 1x - 9y + 12z &= 3 \\ x - 5y + 8z &= 7 \\ 5x + 2y + 6z &= 8 \end{align}

c)

\begin{align} 7x + 4y + 2z &= 5 \\ 1x - 9y + 12z &= 3 \\ \end{align}

d)

\begin{align} x + 2y + 3z + w + 2v &= 4 \\ 2x + 4y + 7z + 3w + 5v &= 9 \\ x + 2y + 4z + 2w + 3v &= 5 \end{align}

Basis bestimmen

Bestimme eine Basis vom Kern und Bild der Abbildungen korrespondierend zu folgenden Matrizen

\begin{align*} A =& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 7 & 8 & 11 \\ 3 & 6 & 10 & 12 & 16 \\ 1 & 2 & 4 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & 6 & 7 & 9 \end{pmatrix} \\ B =& \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 7 & 3 & 5 \\ 1 & 3 & 2 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 5 & 5 & 3 \\ 2 & 6 & 1 & 7 & 0 \end{pmatrix} \\ C =& \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 4 & 7 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 4 & 2 \\ 3 & 3 & 6 & 10 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \\ D =& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 3 & 4 \\ 2 & 5 & 1 & 4 & 7 \\ 1 & 4 & 2 & 5 & 5 \end{pmatrix} \end{align*}

über \(\mathbb{Q}\)
über \(\mathbb{R}\)
über \(\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}\)
über \(\mathbb{Z}/3 \mathbb{Z}\)
über \(\mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}\)
über \(\mathbb{Z}/7 \mathbb{Z}\)