Satz von Cantor
1. Satz
Sei \(M\) eine nichtleere Menge, so folgt für die Potenzmenge
\begin{align*} \vert \mathcal{P}(M) \vert > \vert M \vert \end{align*}2. Beweis
Beweis durch Widerspruch Angenommen es gäbe eine bijektive Abbildung
\begin{align*} f: M \rightarrowtail \mathcal{P}(M) \end{align*}Sei dann \(U\) die Menge aller Elemente, die nicht in ihrem Bild enthalten sind.
\begin{align*} U \coloneqq \{ m \in M \mid m \not\in f(m)\} \end{align*}Dabei gilt \(U \in \mathcal{P}(M)\) und nach Annahme existiert ein \(m' \in M\) mit \(f(m') = U\) Dabei entsteht folgender Widerspruch
2.1. \(y \in U\)
- nach Definition von \(U\): kann nicht vorhanden sein
2.2. \(y \not\in U\)
- Widerspruch zur Definition von \(U\): müsste eigentlich vorhanden sein