Eulersche Formel

\begin{align*} e^{\mathrm{i}\theta} = \mathrm{i}\sin(\theta) + \cos(\theta) \end{align*}

unter Verwendung der Maclaurinsche Reihe der Exponentialfunktion, Sinus- und Cosinusfunktion:

\begin{align*} e^{\mathrm{i} \cdot 0} = 1 \end{align*} \begin{align*} \frac{\mathrm{d}(e^{\mathrm{i}x})}{\mathrm{d}x} =& \mathrm{i}e^{\mathrm{i}x} \\ \frac{\mathrm{d}^n(e^{ix})}{\mathrm{d}x^n} =& \mathrm{i}^n \cdot e^{\mathrm{i}x} \\ f(x) \coloneqq& e^{\mathrm{i}x} \\ f^n(0) =& \mathrm{i}^n \end{align*} \begin{align*} e^{\mathrm{i}x} =& 1 + \mathrm{i} \cdot \frac{1}{1!} x + \mathrm{i}^2 \frac{1}{2!} x^2 + \mathrm{i}^3 \frac{1}{3!} x^3 + \mathrm{i}^4 \frac{1}{4!} x^4 ... \\ =& (1 - \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{4!} x^4 - \frac{1}{6!} x^6 ... ) + \mathrm{i} ( x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 - \frac{1}{7!} x^7 ...) \\ =& \cos(x) + \mathrm{i} \cdot \sin(x) \end{align*}