Beweis: Existenz Inverses Element - Multiplikation komplexer Zahlen
1. Satz
\begin{align*}
\forall z \in \mathbb{C} \exists z^{-1} : z \cdot z^{-1} = 1
\end{align*}
2. Beweis
2.1. Polarform einer komplexen Zahl
Sei \(z = a + b \mathrm{i} = \vert z \vert \cdot e^{\mathrm{i} \phi}\) Dann ist \(z' = \frac{1}{\vert z \vert} \cdot e^{\mathrm{i} (2\pi - \phi)}\), sodass gilt
\begin{align*} z \cdot z' =& \vert z \vert \cdot e^{\mathrm{i} \phi} \cdot \frac{1}{\vert z\vert} \cdot e^{\mathrm{i}(2\pi - \phi)} \\ =& \frac{\vert z \vert}{\vert z \vert} \cdot e^{\mathrm{i} (2\pi - \phi + \phi)} \\ =& 1 \cdot e^{\mathrm{i} 2\pi} \\ =& 1 \end{align*}2.2. Kartesische Darstellung einer komplexen Zahl
\begin{align*}
(a + b \mathrm{i}) \cdot (a' + b' \mathrm{i}) =& 1 + 0 \mathrm{i} \\
aa' - bb' + \mathrm{i} (ab' + a'b) =& 1 + 0 \mathrm{i} \\
\Rightarrow ab' + a'b =& 0 \\
\Rightarrow aa' - bb' =& 1
\end{align*}
2.2.1. a)
\begin{align*}
aa' - bb' =& 1 && \vert -1 + bb' \\
aa' - 1 =& bb' && \vert \cdot a\\
a^2a' - a =& abb'
\end{align*}
2.2.2. b)
\begin{align*}
ab' + a'b =& 0 && \vert - a'b\\
ab' =& - a'b && \vert \cdot b \\
abb' =& - a'b^2
\end{align*}
2.3. Folgerung
\begin{align*}
a^2a' - a =& - a'b^2 && \vert + a + a'b^2\\
a^2a' + a'b^2 =& a \\
a' \cdot (a^2 + b^2) =& a && \vert \cdot \frac{1}{a^2 + b^2} \\
\Rightarrow a' =& \frac{a}{a^2 + b^2}
\end{align*}
\begin{align*}
abb' =& - a'b^2 && \vert \cdot \frac{1}{ab} \\
b' =& \frac{-a'b^2}{ab} \\
b' =& \frac{a}{a^2 + b^2} \cdot \frac{-b}{a} \\
b' =& \frac{-b}{a^2 + b^2}
\end{align*}