Komplexe Zahlen: Distributivgesetz

Seien \(z_1 = a_1 + \mathrm{i}b_1\), \(z_2 = a_2 + \mathrm{i}b_2\), \(z_3 = a_3 + \mathrm{i}b_3\) komplexe Zahlen. Dann gilt das Distributivgesetz, d.h.

\begin{align*} z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3 \end{align*}

\begin{align*} z_1 \cdot (z_2 + z_3) =& (a_1 + \mathrm{i}b_1) \cdot ((a_2 + a_3) + \mathrm{i}(b_2 + b_3)) \\ =& (a_1a_2 + a_1a_3 - b_1b_2 - b_1b_3) + \mathrm{i}((a_1b_2 + a_1b_3) + (b_1a_2 + b_1a_3)) \\ =& ((a_1a_2 - b_1b_2) + \mathrm{i}(a_1b_2 + b_1a_2)) + ((a_1a_3 - b_1b_3) + \mathrm{i}(a_1b_3 + b_1a_3)) \\ =& (a_1 + \mathrm{i}b_1) (a_2 + \mathrm{i}b_2) + (a_1 + \mathrm{i}b_1) (a_3 + \mathrm{i}b_3) \\ =& z_1z_2 + z_1z_3 \end{align*}