konvergente Folge als Cauchy-Folge

Sei \((M,d)\) ein metrischer Raum. Dann ist jede konvergente Folge \(x_n \rightarrow x\) eine Cauchy-Folge.

Sei \(\varepsilon > 0\), dann existiert ein \(n(\frac{\varepsilon}{2}) \in \mathbb{N}\), so dass für \(n,m > n(\frac{\varepsilon}{2})\) gilt

\begin{align*} d(x_n,x) < \frac{\varepsilon}{2} \end{align*}

Daraus folgt aber durch Anwendung der Dreiecksungleichung:

\begin{align*} d(x_n,x_m) \leq& d(x_n,x) + d(x_m,x) \\ <& \varepsilon \end{align*}