Assoziativgesetz für die Multiplikation komplexer Zahlen
1. Satz
\begin{align*}
z_1,z_2,z_3 \in \mathbb{C} \\
(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 =& z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) \\
=& z_1 \cdot z_2 \cdot z_3
\end{align*}
2. Beweis
Durch Ausrechnen nach der Multiplikation: Komplexe Zahlen Seien \(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 \in \mathbb{R}\) sodass gilt:
\begin{align*} z_1 =:& a_1 + \mathrm{i}b_1 \\ z_2 =:& a_2 + \mathrm{i}b_2 \\ z_3 =:& a_3 + \mathrm{i}b_3 \end{align*}2.1. Multiplikation
\begin{align*}
((a_1 + \mathrm{i}b_1) \cdot (a_2 + \mathrm{i}b_2)) \cdot (a_3 + \mathrm{i}b_3) =& ((a_1a_2 - b_1b_2) + \mathrm{i}(a_1b_2 + a_2b_1)) \cdot (a_3 + \mathrm{i}b_3) \\
=& (a_1a_2a_3 - b_1b_2a_3 - a_1b_2b_3 - b_1a_2b_3) + \mathrm{i}(a_1a_2b_3 - b_1b_2b_3 + a_1b_2a_3 + b_1a_2a_3) \\
(a_1 + \mathrm{i}b_1) \cdot ((a_2 + \mathrm{i}b_2) \cdot (a_3 + \mathrm{i}b_3)) =& (a_1 + \mathrm{i}b_1) \cdot ((a_2 a_3 - b_2b_3) + \mathrm{i}(a_2b_3 + b_2a_3) \\
=& (a_1a_2a_3 - a_1b_2b_3 - b_1b_2a_3 - b_1a_2b_3) + \mathrm{i}(b_1a_2a_3 - b_1b_2b_3 + a_1a_2b_3 + a_1b_2a_3) \\
=& (a_1a_2a_3 - b_1b_2a_3 - a_1b_2b_3 - b_1a_2b_3) + \mathrm{i}(a_1a_2b_3 - b_1b_2b_3 + a_1b_2a_3 + b_1a_2a_3) \\
=& ((a_1 + \mathrm{i}b_1) \cdot (a_2 + \mathrm{i}b_2)) \cdot (a_3 + ib_3)
\end{align*}