Kommutativgesetz für die Multiplikation komplexer Zahlen

Seien \(z = a + \mathrm{i}b\) und \(z' = a' + \mathrm{i}b'\) komplexe Zahlen mit \(a,a',b,b' \in \mathbb{R}\) Dann gilt das Kommutativgesetz für die Multiplikation

\begin{align*} \forall z \in \mathbb{C} \forall z' \in \mathbb{C} : z \circ z' =& z' \circ z \end{align*}

Aus der Multiplikation komplexer Zahlen und dem Kommutativgesetz für Reelle Zahlen folgt:

\begin{align*} z \cdot z' =& (aa' - bb') + i(ab' + a'b) = \\ =& (a'a - b'b) + i(a'b + ab') \\ =& z' \cdot z \end{align*}