Achsensymmetrie des Kosinus zur Y-Achse

\begin{align*} \cos(-x) =& \cos(x) \end{align*}

Sei \(z \coloneqq e^{\mathrm{i}x}\) Dann gilt

\begin{align*} e^{-\mathrm{i}x} =& e^{\mathrm{i}x}^{-1} \\ =& z^{-1} \\ \end{align*}

Erweiterung um die komplex-konjugierte Zahl \(\overline{z}\) ergibt

\begin{align*} e^{-x} =& \frac{\overline{z}}{\overline{z} \cdot z} \end{align*}

Nach der Eulersche Formel gilt:

\begin{align*} e^{\mathrm{i}x} =& \mathrm{i}\sin(x) + \cos(x) \\ e^{-\mathrm{i}x} =& -\mathrm{i}\sin(x) + \cos(x) \end{align*}

Dauraus folgt

\begin{align*} e^{-x} =& \frac{\overline{z}}{\overline{z} \cdot z} \\ =& \frac{-\mathrm{i}\sin(x) + \cos(x)}{\sin(x)^2 + \cos(x)^2} \end{align*}

Aufgrund des Trigonometrischen Pythagoras folgt:

\begin{align*} e^{-x} =& \frac{-\mathrm{i}\sin(x) + \cos(x)}{\sin(x)^2 + \cos(x)^2}\\ =& \frac{-\mathrm{i}\sin(x) + \cos(x)}{1} \\ =& -\mathrm{i}\sin(x) + \cos(x) \end{align*}

Da für den Realteil gilt:

\begin{align*} \mathrm{Re}(e^{\mathrm{i}x}) =& \cos(x) \end{align*}

folgt

\begin{align*} \mathrm{Re}(e^{-\mathrm{i}x}) =& \cos(-x) \\ \mathrm{Re}(e^{-\mathrm{i}x}) =& \mathrm{Re}(-\mathrm{i}\sin(x) + \cos(x)) \\ =& \cos(x) \\ \Rightarrow \cos(-x) =& \cos(x) \end{align*}