von einer Menge an Vektoren erzeugte Unterraum

Sei \(V\) ein K-Vektorraum und \(A \subseteq V\) eine Teilmenge an Vektoren.
Dann ist die Menge

\begin{align*} \langle A \rangle =& \left\{ \sum_{i=1}^n \alpha_i a_i \vert n \in \mathbb{N}, \alpha_i \in K, a_i \in A \right\} \subseteq V \end{align*}

der von \(A\) erzeugte Unterraum.

Die Teilmenge erbt Eigenschaften wie die Distributivität, Assoziativität etc.
Damit bleibt zu zeigen, dass für zwei Elemente \(u_1,u_2 \in \langle A\rangle\) und ein Skalar \(\lambda \in K\) auch

\begin{align*} \lambda \cdot u_1 + u_2 \in \langle A\rangle \end{align*}

liegt.

Dies lässt sich mithilfe der Definition nachrechnen.