vector space

Let \(F\) be a field.
A vector space \(V\) is a module over \(F\).

Sei \(K\) ein Körper und \((V,+)\) eine abelsche Gruppe.
Dann ist eine \(K\)-Vektorraum gegeben durch eine Abbildung ("Skalarmultiplikation")

\begin{align*} \cdot_{V}: K \times V \rightarrow& V \\ (k,v) \mapsto& k \cdot v \end{align*}

so dass gilt

1. \((k_1 \cdot_K k_2) \cdot_V v = k_1 \cdot_V (k_2 \cdot_V v)\)
   
2. \(1 \cdot_K v = v\)
   
3. \((k_1 +_{K} k_2) \cdot_{V} (v_1 +_{V} v_2) = k_1 v_1 + k_1 v_2 + k_2 v_1 + k_2 v_2\)