inverse unter monoidhomomorphismen

Sei \(f: G \rightarrow H\) ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt für

\begin{align*} g, g^{-1} \in G \end{align*} \begin{align*} f(g^{-1}) =& f(g)^{-1} \end{align*}

aus dem Lemma über das Bild eines Gruppenhomomorphismus als Untergruppe und der Eindeutigkeit des inversen Elements einer Gruppe

\begin{align*} e =& f(e) \\ =& f(gg^{-1}) \\ =& f(g)f(g^{-1}) \\ \Rightarrow f(g^{-1}) =& f(g)^{-1} \end{align*}