Eindeutigkeit des inversen Elements einer Gruppe

Sei \(G\) eine Gruppe und \(g \in G\) Dann existiert genau ein \(g^{-1}\), so dass gilt:

\begin{align*} \forall g \exists! g^{-1} ( g\cdot g^{-1} = 1) \end{align*}

• 1 als Neutrales Element

Aufgrund der Eindeutigkeit des Links- und Rechtsinverses Element in Gruppen folgt für \(gg^{-1} = e = g \cdot \overline{g^{-1}}\):

\begin{align*} gg^{-1} =& g \overline{g^{-1}} && \vert g^{-1} \\ g^{-1}gg^{-1} =& g^{-1}g \overline{g^{-1}} \\ g^{-1} =& \overline{g^{-1}} \end{align*}