Rechenregeln für Gruppen
1. Lemma
Sei \((G, \cdot)\) einei Gruppe und \(a,b,c \in G\) Dann folgt
1.1. a)
\begin{align*}
ab = ac \Leftrightarrow b = c \Leftrightarrow ba = ca
\end{align*}
1.2. b)
\begin{align*}
(a^{-1})^{-1} =& a
\end{align*}
1.3. c)
\begin{align*}
(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}
\end{align*}
2. Beweis
2.1. a)
o.B.d.A. \(b = c \Rightarrow ab = ac\) folgt aus der Eindeutigkeit der Verknüpfung
\begin{align*} ab =& ac \\ a^{-1}ab =& a^{-1}ac \\ b =& c \end{align*}analog die andere gleichung
2.2. b)
\begin{align*}
(a^{-1})^{-1}a^{-1} =& e \\
(a^{-1})^{-1}a^{-1}a =& a \\
(a^{-1})^{-1} =& a
\end{align*}
2.3. c)
\begin{align*}
(ab)^{-1} (ab) =& e \\
(ab)^{-1} (ab) b^{-1}a^{-1} =& e b^{-1}a^{-1} \\
(ab)^{-1} =& b^{-1}a^{-1}
\end{align*}