Gruppe des Faktorraums eines Normalteilers

1. Satz

Sei \(G\) eine Gruppe und \(N\) ein Normalteiler. Dann ist die Menge \(G / N\) eine Gruppe bezüglich der Verknüpfung für \(g_1,g_2 \in G\)

\begin{align*} g_1N \cdot g_2N =& gg'N \end{align*}

und das neutrale element ist \(N\)

Seien \(g_1N = g_1'N\), \(g_2N = g_2'N\), Dann existieret \(n_1,n_2 \in N\), so dass gilt

\begin{align*} g_1n_1 =& g_1' \\ g_2n_2 =& g_2' \end{align*}

es folgt wegen \(g_2^{-1} n_1 g_{2} =: n_3 \in N\):

\begin{align*} g_1'g_2' =& g_1n_1 g_2n_2 \\ =& g_1g_2 (g_2^{-1} n_1 g_2) n_2 \\ =& g_1g_2 n_3 \end{align*}

und damit ist auch der ausdruck

\begin{align*} g_1N \cdot g_2N = g_1g_2N \end{align*}

Es gilt:

\begin{align*} N =& 1N \\ 1N \cdot gN =& 1gN \\ =& gN \\ =& g1N \\ =& gN \cdot 1N \end{align*}