Grad von Polynomen unter Addition

Sei \(K\) ein Körper mit dem Polynomring \(K[x]\) und den Polynomen \(f, g \in K[x]\) Dann folgt

\begin{align*} \mathrm{deg}(f + g) \leq \mathrm{max}(\mathrm{deg}(f), \mathrm{deg}(g)) \end{align*}

Sei \(d_f \coloneqq \mathrm{deg}(f), d_g \coloneqq \mathrm{deg}(g)\) mit o.B.d.A. \(d_f \leq d_g\), so folgt für die $j$-te Komponente mit \(j > d_g\) aufgrund der komponentenweise definierten Addition:

\begin{align*} (f + g)j =& (f)_j + (g)_j \\ =& 0 + 0 \\ =& 0 \end{align*}

und damit auch (z.B. durch einen Widerspruchsbeweis) \(\mathrm{deg}(f + g) < j\) und mit \(j \coloneqq d_g + 1\) auch \(\mathrm{deg}(f + g) \leq d_g\)