Ausklammern von Nullstellen von Polynomen
1. Satz
Sei \(R\) ein kommutativer Ring (Integritätsbereich notwendig ?) und \(0 \neq f \in R[x]\) und \(c \in R\) eine Nullstelle, d.h. \(f(c) = 0\). Dann folgt \(f = (x - c)^m \cdot h\) für ein eindeutiges \(m \in \mathbb{N}^+\) und \(h \in L[x]\) mit \(h(c) \neq 0\)
2. Beweis
2.1. Induktionsanfang
Division mit Rest über Polynomen für eine Einheit mit \(x - c\), d.h. auch \(1\) als leitkoeffizient, liefert eine Darstellung
\begin{align*} f = (x - c) h + r \end{align*}mit \(\mathrm{deg}(r) < \mathrm{deg}(x - c) = 1\), also ist \(r\) ein Konstantes Polynom. Auswertung bei \(c\) ergibt
\begin{align*} 0 = f(c) = (c - c)h + r = r \end{align*}und damit auch die Darstellung
2.2. Induktionsschritt
folgt durch Iteration vom Induktionsanfang für \(f_i = h_{i-1}\)