Symmetrische Gruppe nicht abelsch

für \(n = 1\) existiert bloß die Identitätsabbildung als Neutrales Element, folglich trivial Für \(n = 2\) existiert noch die Transposition als Involution

Sei \(\{1,...,n\}\) Die Abbildungen

\begin{align*} f(n) =& \begin{cases} 3 & \mbox{if } n = 2 \\ 2 & \mbox{if } n = 1 \\ 1 & \mbox{if } n = 3 \\ n & \mbox{else } \end{cases} \\ g(n) =& \begin{cases} 3 & \mbox{if } n = 1 \\ 2 & \mbox{if } n = 3 \\ 1 & \mbox{if } n = 2 \\ n & \mbox{else } \end{cases} \\ \end{align*}

gilt:

\begin{align*} (f \circ g)(1) =& f(3) \\ =& 2 \\ (g \circ f)(1) =& g(1) \\ =& 3 \Rightarrow f \circ g \neq g \circ f \end{align*}