image of compact space as compact space

Seien \((X, \mathcal{T})\) und \((X', \mathcal{T}')\) topologische Räume und \(f: X \rightarrow X'\) eine stetige Abbildung. Für eine kompakte Menge \(K \subseteq X\) ist die Bildmenge \(f[K]\) kompakt

Sei \(O'_i\) eine offene Überdeckung von \(f[K]\), so ist nach Definition der Stetigkeit \(f^{-1}[O_i']\) offen und eine Überdeckung. Nach Annahme existiert eine endliche Teilüberdeckung und da \(f\) surjektiv auf das Bild ist, folgt auch \(f[f^{-1}[O_1]] = O_1 \cap f[K]\) bzw. \(O_1,...,O_n\) ist eine Überdeckung von \(f[K]\)