Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion

Sei \(f: D \rightarrow C\) mit \(D, C \subseteq \mathbb{R}\) eine in \(x \in D\) differenzierbare, bijektive Funktion. Dann ist \(f^{-}:C \rightarrow D\) differenzierbar in \(f(x) = y \in C\), sofern \(f'(x) \neq 0\) gilt

\begin{align*} f'(x) =& \lim_{\delta \to 0}\left(\frac{f(x+\delta) - f(x)}{\delta}\right) \\ =& \lim_{\delta \to 0}\left(\frac{1}{\frac{f^{-1}(f(x + \delta)) - f^{-1}(f(x))}{f(x + \delta) - f(x)}}\right) \\ =& \frac{1}{f^{-1}'(f(x))} \\ \Rightarrow f^{-1}'(y) =& \frac{1}{f'(x)} \end{align*}