Äquivalente Charakterisierung eines T1-Raums

Sei \(x \in X\), so existiert für \(y \neq x\) eine Umgebung \(U_y\) - o.B.d.A. offen - mit \(x \not\in U_y\). Diese Konstruktion kann man für alle Punkte \(y \in X \setminus \{x\}\) durchführen und dann Vereinigen, so dass man folgende Menge erhält

\begin{align*} \bigcup_{y \in X \setminus \{x\}} U_y = X \setminus \{x\} \end{align*}

Diese ist Vereinigungen offener Mengen offen und damit ist \(\{x\}\) abgeschlossen

Sei \(x \not\in A\), so ist \(X \setminus \{x\}\) offen mit \(A \subseteq X \setminus \{x\}\) als Umgebung. Daraus folgt dann auch \(x \not\in \bigcap_{U \text{ Umgebung von } A} U = A\). Die andere Inklusion folgt aus der Konstruktion.

Sei \(x \neq y\), so gilt \(\{x\} = \bigcap_{U \text{ Umgebung von } \{x\}} U \not\ni y\), d.h. es existiert eine Umgebung \(U'\) von \(x\) mit \(y \not\in U'\) Analog die andere Hälfte.