composition of continuous maps

Seien \((X, \mathcal{T}), (\overline{X}, \overline{\mathcal{T}})\) und \((X', \mathcal{T}')\) topologische Räume und \(f: X \rightarrow \overline{X}\) sowie \(g: \overline{X} \rightarrow X'\) stetige Abbildungen

Dann ist auch

\begin{align*} g \circ f: X \rightarrow X' \end{align*}

stetig

Sei \(A' \subseteq X'\) eine offene Menge, dann ist nach Annahme auch \(g^{-1}[A']\) offen.

Daraus folgt, dass \(f^{-1}[g^{-1}[A']] = g^{-1} \circ f^{-1}[A']\) ebenfalls offen ist:wa